Problemas de diagrama de Venn (5 y 5)

1) Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente productos del tipo A o del tipo B (o ambos), excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo que 15 días del mes ha fabricado A, y 20 días ha fabricado B, a) ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos? b) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo A? c) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo B?

El dato de los 4 domingos puede volcarse directamente en el diagrama. Obviamente existieron días en que se fabricaron ambos productos, pues de lo contrario abril tendría 39 días. Luego, dado que abril sólo tiene 30 días debieron haber 9 días en que se fabricaron ambos productos. Por diferencia de este número con 15 y con 20 se obtuvieron 6 y 11 respectivamente. Rtas. a) 9 días; b) 6 días; c) 11 días.

2) Se les preguntó a personas si tomaban té, café o chocolate. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: las tres bebidas, sólo té, té y chocolate pero no café, etc.

En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? Rta. 30 personas.
2. ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas tres bebidas? Rta. 28 personas.
3. ¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 13 personas.
4. ¿Cuántas personas tomaban sólo dos de esas tres bebidas bebidas? Rta. 9 personas.
5. ¿Cuántas personas tomaban exactamente dos de esas tres bebidas? Rta. 9 personas.
6. ¿Cuántas personas tomaban menos de dos de esas tres bebidas? Rta. 20 personas.
7. ¿Cuántas personas tomaban exactamente una de esas dos bebidas? Rta. 18 personas.
8. ¿Cuántas personas tomaban sólo chocolate? Rta. 7 personas.
9. ¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 12 personas.
10. ¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 17 personas.
11. ¿Cuántas personas tomaban las tres bebidas? Rta. 1 persona.
12. ¿Cuántas personas no tomaban las tres bebidas? Rta. 29 personas.
13. ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de esas tres bebidas? Rta. 2 personas.
14. ¿Cuántas personas no tomaban ni té ni café? Rta. 9 personas.
15. ¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 18 personas.
16. ¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas. ¿Cuántas personas tomaban té y café pero no chocolate? Rta. 3 personas.
17. ¿Cuántas personas tomaban chocolate y café? Rta. 3 personas.
18. ¿Cuántas personas tomaban chocolate y café pero no té? Rta. 2 personas.

3) Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:

I) Motocicleta solamente: 5
II) Motocicleta: 38
III) No gustan del automóvil: 9
IV) Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3
V) Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20
VI) No gustan de la bicicleta: 72
VII) Ninguna de las tres cosas: 1
VIII)No gustan de la motocicleta: 61

1. ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?
2. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente?
3. ¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente?
4. ¿A cuántos le gustaban las tres cosas?
5. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?

 

Tratemos de volcar los datos en un diagrama de Venn para tres conjuntos.

Nos encontraremos con que sólo cuatro de ellos (los números I), IV), V) y VII) se pueden volcar directamente:

Ahora con el dato II) se puede completar la única zona que falta en el conjunto MOTO, haciendo la diferencia 38 - (20+5+3) = 10:

Luego utilizaremos el dato VI), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto BICI, deberán sumar 72, luego 72 - (20+5+1) = 46:

Después de ello, podremos usar el dato III), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto AUTO, deberán sumar 9, luego 9 - (5+3+1) = 0:

Por último utilizaremos el dato VIII) pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto MOTO, deberán sumar 61, luego 61 - (46+0+1) = 14:

Con lo que estamos en condiciones de responder a todas las preguntas:

1. A 99 personas.
2. A ninguna.
3. A 46 personas.
4. A 10 personas.
5. a 14 personas.

 

 

4)  hay un 56% de varones. Si el total debe ser 100%, habrá 44% de mujeres.

Los varones se dividen entre solteros y casados. Según datos, hay un 8% de casados, por lo que habrá 48% de solteros (total de varones menos los casados).

Los casados se subdividen entre barceloneses y de otros lugares.

Sabemos por datos que los varones casados de Barcelona son el 5%, por lo que los varones casados de otros lugares serán 3% (los varones casados menos los varones casados de Barcelona).

Los solteros igualmente se subdividen, de tal modo que los residentes en Barcelona serán 11% (los varones de Barcelona menos los varones casados de Barcelona).

Los solteros de otros lugares serán el total de solteros menos los solteros de Barcelona, es decir, 37%.

Por el momento parece que los datos son correctos.

Analizaremos ahora las mujeres.

Si sabemos por los datos que el 48% son personas casadas, y el 8% son varones casados, el 40% serán mujeres casadas. Si el total de mujeres es 44%, las mujeres solteras serán el total de mujeres menos las mujeres casadas, es decir, 4%.

Contuinuamos: Si sabemos por los datos que el 10% son personas casadas de Barcelona y también que un 5% son varones, entonces otro 5% serán mujeres casadas de Barcelona. Y si sabemos que las mujeres casadas son 40% y un 5% de éstas son de Barcelona, el 35% serán mujeres casadas de otros lugares.

Las mujeres solteras de Barcelona son (viendo datos de encuesta y los anteriormente calculados) las personas de Barcelona menos los varones casados de Barcelona, menos los varones solteros de Barcelona y menos las mujeres casadas de Barcelona, resultando 16% (que supera el 4% que deberían ser las mujeres solteras, suma de las solteras de Barcelona y las de otros lugares).

Si efectuamos una última comprobación, vemos que las mujeres solteras de otros lugares serán las mujeres solteras menos las mujeres solteras de Barcelona, resultando -12%, lo cual es imposible. De ahí que el director de la revista se negase a pagar la encuesta.

Se puede ver más claramente representando los datos con unos diagramas de Venn:   

La suma de 37+11+5+16+3+5+35, debería ser 100, sin embargo no es así; sale 112. Por tanto, la encuesta es falaz.

 

5) En un aula hay cierto número de alumnos que hemos de determinar. Se sabe que cada uno de los alumnos presentes estudian, al menos, una de las tres asignaturas siguientes: Matemáticas, Física, Química. Pues bien, en sucesivas veces se pide que levanten la mano los que estudian:

a) Matemáticas, y lo hacen 48

B) Física: 45

c) Química: 49

d) Matemáticas y Física: 28

e) Matemáticas y Química: 26

f) Física y Química: 28

g) Las tres asignaturas: 18

Se pregunta:

1)       ¿Cuántos alumnos hay en el aula?

2)       ¿Cuántos estudian Matemáticas y Física, pero no Química?

3)       ¿Cuántos estudian nada más que Química?

 

Solución

1)        (M + F  + Q) = 48  + 45 + 49 – 28 – 26 – 28 + 18 En el aula hay 78 alumnos

2)       Hay 10 alumnos que estudian Matemáticas y Física, pero no estudian Química.

3)       49  Estudian solo Química

 

 6) Una empresa de la industria del automóvil requiere 22 titulados en Ingeniería Superior para trabajar en ella. Los aspirantes han de ser : Ingenieros Mecánicos, Ingenieros Eléctricos o Ingenieros Químicos. Los Ingenieros Mecánicos han de ser 11, los Ingenieros Eléctricos han de ser 12, Los Ingenieros Químicos han de ser 10. Ahora bien, algunos puestos deben ser ocupados por Ingenieros con doble titulación, en concreto 5 han de ser Ingenieros Mecánicos y Eléctricos, 4 Ingenieros Mecánicos y Químicos, 4 Ingenieros Eléctricos y Químicos. La empresa también quiere Ingenieros con triple titulación.

Se pregunta: a) ¿Cuántos Ingenieros que poseen los tres títulos necesita la empresa? B) ¿Cuántos puestos de trabajo está ofreciendo la empresa para aquellos Ingenieros que únicamente están titulados en Ingeniería Eléctrica? C) ¿Cuántos puestos para los que son Ingenieros Eléctricos y Químicos pero no son Ingenieros Mecánicos?

Solución

A)      Se pregunta cuantos ingenieros de tres títulos pueden tener la empresa.

22= 11 + 12 + 10 – 5 – 4 – 4 + n (M.E.Q)

22 = 20 + n ( M.Q.E)

Hay dos puestos reservados en la empresa para los de triple titulación.

B)       Hay 5 puestos para los que únicamente están titulados en Ingeniería Eléctrica.

C)       Hay 2 puestos para los que son Eléctricos y Químicos pero no Mecánicos.

 

7) Se presentan 44 solicitudes para cubrir los puestos que ofrece la empresa que se cita en el anterior problema. De entre los solicitantes, hay 29 Ingenieros Mecánicos, 19 Ingenieros Químicos. 6 Ingenieros Mecánicos y Eléctricos. 8 Ingenieros Químicos y Eléctricos. 9 Ingenieros Mecánicos y Químicos, y 1 que tiene triple titulación.

a) ¿Cuántos Ingenieros Eléctricos han presentado solicitud?

44 = 29  + 19 + E – 6 – 8 – 9 + 1 = 18

8. Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B :

138 personas consumían A pero no B.

206 personas consumían A y B.

44 personas no consumían ni A ni B.

a.     ¿Cuántas personas consumían A? Rta: 344 personas.

b.     ¿Cuántas personas consumían B? Rta: 318 personas.

c.      ¿Cuántas personas consumían B pero no A? Rta: 112 personas.

d.     ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos? Rta: 456 personas

9.De los 39 alumnos de una clase, 16 escogieron como idioma el francés y 27 el inglés. 9 eligieron ambos idiomas y el resto no escogió ninguno de ellos. Si se elige al azar un alumno de dicha clase, halla las siguientes probabilidades.

a) Escogió francés: 16 de 39

b) Escogió inglés: 27

c) Francés e Inglés: 9

e) Francés y no inglés: 7

f) Inglés y no francés: 18

g) Ninguna: 5

7+9+18= 34 alumnos + 5 de ningún idioma.

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10. De 1000 televidentes encuestados se obtiene la siguiente información:         

391 ven programas deportivos

230 ven programas cómicos.

545 ven programas sobre el mundo animal.

98 ven programas cómicos y deportivos.

152 ven programas cómicos y mundo animal.

88 ven programas deportivos y mundo animal.

90 no ven ninguno de esos tres programas.

Se pregunta:

I ¿ Cuántos entrevistados ven los tres tipos de programas?

II ¿Cuántos entrevistados ven sólo uno de los tres tipos?

Solución: 1000- 90 = 910

910 = 391 + 230 + 545 – 98 – 152 – 88 + (numero de los que ven los tres tipos)

Total de 82 personas que ven los tres tipos de programas.

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